\(\int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx\) [339]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 95 \[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=-\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \]

[Out]

-AppellF1(n,1/2-m,1/2,1+n,-sec(f*x+e),sec(f*x+e))*(d*sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^(-1/2-m)*(a+a*sec(f*x+e))^m*
tan(f*x+e)/f/n/(1-sec(f*x+e))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.13 (sec) , antiderivative size = 95, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.130, Rules used = {3913, 3912, 138} \[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=-\frac {\tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac {1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m (d \sec (e+f x))^n \operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m,n+1,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \]

[In]

Int[(d*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 1/2 - m, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^(-1/2 -
m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))

Rule 138

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m +
1)/(b*(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 3912

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^2*d
*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]])), Subst[Int[(d*x)^(n - 1)*((a + b*x)^(m -
1/2)/Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 3913

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^Int
Part[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^FracPart[m]), Int[(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left ((1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int (d \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^m \, dx \\ & = -\frac {\left (d (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {(d x)^{-1+n} (1+x)^{-\frac {1}{2}+m}}{\sqrt {1-x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \\ & = -\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2250\) vs. \(2(95)=190\).

Time = 6.32 (sec) , antiderivative size = 2250, normalized size of antiderivative = 23.68 \[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(d*Sec[e + f*x])^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-
1 + n)*(d*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^m*Tan[(e + f*x)/2])
/(f*(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m
+ n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*2^m*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n))/(3*AppellF1[1/
2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(-1 + n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f
*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[
3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2
, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(
Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1/3*((1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n,
1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2,
m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(2*(
(-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 +
m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-1/3*((
1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f
*x)/2]) + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)
/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, m + n, 3 - n, 7/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(m + n)*AppellF1[5/2, 1 + m +
n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (m + n)*((-
3*(1 - n)*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan
[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1 + m + n)*AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*
AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*2^(1
+ m)*(m + n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(
-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(
e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/
2]^2)))

Maple [F]

\[\int \left (d \sec \left (f x +e \right )\right )^{n} \left (a +a \sec \left (f x +e \right )\right )^{m}d x\]

[In]

int((d*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int((d*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x)

Fricas [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((a*sec(f*x + e) + a)^m*(d*sec(f*x + e))^n, x)

Sympy [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\int \left (a \left (\sec {\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{m} \left (d \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{n}\, dx \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))**n*(a+a*sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**m*(d*sec(e + f*x))**n, x)

Maxima [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m*(d*sec(f*x + e))^n, x)

Giac [F]

\[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (a \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sec(f*x + e) + a)^m*(d*sec(f*x + e))^n, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (d \sec (e+f x))^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx=\int {\left (a+\frac {a}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m\,{\left (\frac {d}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^n \,d x \]

[In]

int((a + a/cos(e + f*x))^m*(d/cos(e + f*x))^n,x)

[Out]

int((a + a/cos(e + f*x))^m*(d/cos(e + f*x))^n, x)